Ich habe vor einiger Zeit mal einen, mir ganz interessant erscheinenden, Artikel über eine andere Art von Mathematik gelesen. Geschrieben hat ihn Natalie Wolchover im April 2020 bei Quantamagazine.
Der Artikel ist auf Englisch, deshalb habe ich ihn auf Deutsch übersetzt und stelle die Übersetzung in diesem Blog zur Verfügung.
Im ersten Teil habe ich einiges angepasst, weil mir das Original zu ‘sprunghaft’ erschien, sonst habe ich aber versucht so nah wie möglich am Original zu bleiben.
Übrigens bin ich an jeder Verbesserung für den Text interessiert. Also, wenn jemand eine bessere Übersetzung hat, bitte in die Kommentare schreiben…
Hier nun der Artikel:
Fließt die Zeit wirklich? Neue Hinweise kommen von einem jahrhundertealten Ansatz zur Mathematik.
Die Gesetze der aktuellen Physik implizieren, dass der Lauf der Zeit eine Illusion ist. Ein „Fließen“ der Zeit kann im Rahmen von Einsteins Relativitätstheorie nicht erklärt werden. Alles ist gewissermaßen „auf einmal“ in der Raumzeit fixiert. Obwohl wir als Menschen das Gefühl haben, auf der Messerschneide zwischen der festgelegten Vergangenheit und der offenen Zukunft durch die Zeit zu fegen. Seltsamerweise erscheint diese Kante – die Gegenwart – nirgends in den bestehenden Gesetzen der Physik.
Zum Beispiel ist in Albert Einsteins Relativitätstheorie die Zeit mit den drei Dimensionen des Raums verwoben und bildet ein biegsames, vierdimensionales Raum-Zeit-Kontinuum – ein „Blockuniversum“, das die gesamte Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft umfasst. Einsteins Gleichungen zeigen alles in einem Blockuniversum, wie von Anfang an entschieden und festgelegt. Die Anfangsbedingungen des Kosmos bestimmen, was später kommt und Überraschungen kommen nicht vor – sie scheinen nur für uns aufzutreten (Anmerkung: weil wir immer genauer messen können).
“Für uns gläubige Physiker”, schrieb Einstein 1955, Wochen vor seinem Tod, “ist die Unterscheidung zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft nur eine hartnäckige Illusion.”
Die zeitlose, vorherbestimmte Sicht auf die Realität, wie von Einstein propagiert, ist bis heute beliebt. “Die Mehrheit der Physiker glaubt an die Blockuniversum-Sichtweise, weil sie durch die allgemeine Relativitätstheorie vorhergesagt wird”, sagt Marina Cortês, Kosmologin an der Universität von Lissabon.
Sie sagt jedoch auch: “Wenn jemand aufgefordert wird, etwas tiefer darüber nachzudenken, was das Blockuniversum wirklich bedeutet, beginnt er, die Auswirkungen in Frage zu stellen und bezüglich der Konsequenzen schwankend zu werden.”
Physiker, die sorgfältig über das Thema nachdenken, weisen auf Probleme in der Quantenmechanik hin, die das probabilistische Verhalten von Teilchen beschreiben. Auf der Quantenskala treten irreversible Änderungen auf, die die Vergangenheit von der Zukunft unterscheiden: Ein Teilchen behält simultane Quantenzustände bei, bis man sie misst. Zu diesem Zeitpunkt nimmt das Teilchen dann einen der Zustände an. Auf mysteriöse Weise sind aber einzelne Messergebnisse zufällig und völlig unvorhersehbar, selbst wenn das Partikelverhalten gemeinsam statistischen Mustern folgt. Diese offensichtliche Inkonsistenz zwischen der Natur der Zeit in der Quantenmechanik und ihrer Funktionsweise in der Relativitätstheorie hat zu Unsicherheit und Verwirrung geführt.
Um diese Schlussfolgerungen zu vermeiden, müssen wir möglicherweise die Realität unendlich genauer Zahlen überdenken.
Denn wenn Zahlen keine unendlichen Ziffernfolgen haben können, kann die Zukunft niemals perfekt vorherbestimmt werden.
Der Schweizer Physiker Nicolas Gisin hat im vergangenen Jahr vier Arbeiten veröffentlicht, die versuchen, den Nebel um die Zeit in der Physik zu lichten. Wie Gisin es sieht, war das Problem die ganze Zeit mathematisch. Gisin argumentiert, dass die Zeit im Allgemeinen und die Zeit, die wir die Gegenwart nennen, leicht in einer jahrhundertealten mathematischen Sprache ausgedrückt werden können, die als intuitionistische Mathematik bezeichnet wird und die Existenz von Zahlen mit unendlich vielen Ziffern ablehnt.
Wenn intuitionistische Mathematik verwendet wird, um die Entwicklung physikalischer Systeme zu beschreiben, wird laut Gisin deutlich, dass „die Zeit wirklich vergeht und neue Informationen entstehen“. Darüber hinaus weicht mit diesem Formalismus der strenge Determinismus, der durch Einsteins Gleichungen impliziert wird, einer quantenähnlichen Unvorhersehbarkeit. Wenn Zahlen endlich und in ihrer Genauigkeit begrenzt sind, ist die Natur selbst von Natur aus ungenau und damit auch unvorhersehbar.
Die Physiker verdauen immer noch Gisins Arbeit – es kommt nicht oft vor, dass jemand versucht, die Gesetze der Physik in einer neuen mathematischen Sprache neu zu formulieren -, aber viele derjenigen, die sich mit seinen Argumenten befasst haben, glauben, sie könnten damit möglicherweise die konzeptionelle Kluft zwischen dem Determinismus der allgemeinen Relativitätstheorie und der inhärenten Zufälligkeit auf der Quantenskala überbrücken.
“Ich fand es faszinierend”, antwortete Nicole Yunger Halpern, eine Quanteninformationswissenschaftlerin an der Harvard University, auf Gisins jüngsten Artikel in Nature Physics. “Ich bin offen dafür, der intuitionistischen Mathematik eine Chance zu geben.”
Cortês bezeichnete Gisins Ansatz in seinen Implikationen als “äußerst interessant” und “schockierend und provokativ”. “Es ist wirklich ein sehr interessanter Formalismus, der sich mit diesem Problem der endlichen Präzision in der Natur befasst”, sagte sie.
Gisin sagte, es sei wichtig, Gesetze der Physik zu formulieren, die die Zukunft als offen und die Gegenwart als sehr real betrachten, denn das erleben wir. “Ich bin ein Physiker, der seine Füße auf dem Boden hat”, sagte er. “Zeit vergeht; wir alle wissen das.”
Nicolas Gisin: Eine reelle Zahl mit unendlichen Ziffern kann physikalisch nicht relevant sein.
Information und Zeit
Gisin, 67, ist in erster Linie ein Experimentator. Er leitet ein Labor an der Universität Genf, das bahnbrechende Experimente zur Quantenkommunikation und Quantenkryptographie durchgeführt hat. Er ist aber auch der seltene Crossover-Physiker, der für wichtige theoretische Erkenntnisse bekannt ist, insbesondere solche, die ?Quantenchance? und Nichtlokalität beinhalten.
Am Sonntagmorgen macht es sich Gisin zur Gewohnheit, anstatt zur Kirche zu gehen, ruhig mit einer Tasse Oolong-Tee auf seinem Stuhl zu Hause zu sitzen und über tiefe konzeptionelle Rätsel nachzudenken. An einem Sonntag vor ungefähr zweieinhalb Jahren erkannte er, dass das deterministische Zeitbild in Einsteins Theorie und dem Rest der „klassischen“ Physik implizit die Existenz unendlicher Informationen voraussetzt.
Betrachten Sie das Wetter. Da es chaotisch ist oder sehr empfindlich auf kleine Unterschiede reagiert, können wir nicht genau vorhersagen, wie das Wetter in einer Woche sein wird. Da es sich jedoch um ein klassisches System handelt, sagen uns Lehrbücher, dass wir das Wetter im Prinzip eine Woche später vorhersagen könnten, wenn wir nur jede Wolke, jeden Windstoß und jeden Schmetterlingsflügel genau genug messen könnten. Es ist unsere eigene Schuld, dass wir die Bedingungen nicht mit genügend Dezimalstellen für Details messen können, um vorwärts zu extrapolieren und perfekt genaue Vorhersagen zu treffen, da sich die tatsächliche Wetterphysik wie am Schnürchen entfaltet.
Erweitern Sie diese Idee nun auf das gesamte Universum. In einer vorbestimmten Welt, in der sich die Zeit nur zu entfalten scheint, musste von Anfang an genau festgelegt werden, was für alle Zeiten tatsächlich passieren wird, wobei der Anfangszustand jedes einzelnen Teilchens mit unendlich vielen Stellen Genauigkeit codiert wurde. Andernfalls würde es in ferner Zukunft eine Zeit geben, in der das Uhrwerk-Universum selbst zusammenbrechen würde.
Aber Information ist physisch. Moderne Forschungen zeigen, dass sie Energie benötigt und Platz einnimmt. Es ist bekannt, dass jedes Raumvolumen eine endliche Informationskapazität hat (wobei die größtmögliche Informationsspeicherung in Schwarzen Löchern stattfindet). Gisin erkannte, dass die Anfangsbedingungen des Universums viel zu viele Informationen erfordern würden, die auf zu wenig Platz drängen würden. “Eine reelle Zahl mit unendlichen Ziffern kann physikalisch nicht relevant sein”, sagt er. Das Blockuniversum, das implizit die Existenz unendlicher Informationen voraussetzt, muss auseinander fallen.
Gisin sucht nach einer neuen Art, wie die Zeit in der Physik beschrieben wird, die keine unendlich genaue Kenntnis der Anfangsbedingungen voraussetzt.
Die Logik der Zeit
Die moderne Akzeptanz, dass es ein Kontinuum reeller Zahlen gibt, die meisten mit unendlich vielen Stellen nach dem Dezimalpunkt, trägt wenig Spuren der scharfen Debatte über die Frage in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts. David Hilbert, der große deutsche Mathematiker, vertrat die heute übliche Ansicht, dass reelle Zahlen existieren und als abgeschlossene Einheiten manipuliert werden können.
Gegen diesen Gedanken waren mathematische „Intuitionisten“, angeführt vom renommierten niederländischen Topologen L.E.J. Brouwer, der Mathematik als Konstrukt betrachtete. Brouwer bestand darauf, dass Zahlen konstruierbar sein müssen, ihre Ziffern einzeln berechnet oder ausgewählt oder zufällig bestimmt werden müssen. Zahlen sind endlich, sagte Brouwer, und sie sind auch Prozesse: Sie können immer genauer werden, wenn sich mehr Ziffern in einer so genannten Auswahlsequenz zeigen, einer Funktion zur Erzeugung von Werten mit immer größerer Präzision.
Durch die Begründung der Mathematik auf das, was konstruiert werden kann, hat der Intuitionismus weit reichende Konsequenzen für die Praxis der Mathematik und für die Bestimmung, welche Aussagen als wahr angesehen werden können. Die radikalste Abweichung von der Standardmathematik ist, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, ein seit Aristoteles gepriesenes Prinzip, nicht gilt. Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte besagt, dass entweder ein Satz wahr ist oder seine Negation wahr ist – eine klare Reihe von Alternativen, die eine mächtige Art der Folgerung bieten.
Aber im Rahmen von Brouwers Arbeiten könnten jedoch Aussagen über Zahlen zu einem bestimmten Zeitpunkt weder wahr noch falsch sein, da sich der genaue Wert der Zahl noch nicht offenbart hat. Es gibt keinen Unterschied zur Standardmathematik, wenn es um Zahlen wie 4, ½ oder pi geht, das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Obwohl pi irrational ist und keine endliche Dezimalerweiterung aufweist, gibt es einen Algorithmus zum Erzeugen seiner Dezimalerweiterung, wodurch pi genauso bestimmt wird wie eine Zahl wie ½. Betrachten Sie jedoch eine andere Zahl x, die sich im sehr nahen Bereich von ½ befindet.
Angenommen, der Wert von x ist 0,4999, wobei sich weitere Ziffern in einer Auswahlsequenz entfalten. Vielleicht wird die Folge von Neunern für immer fortgesetzt. In diesem Fall konvergiert x gegen genau ½. (Diese Tatsache, dass 0,4999… = 0,5, gilt auch für die Standardmathematik, da sich x von ½ um weniger als jede endliche Differenz unterscheidet.)
Wenn jedoch zu einem späteren Zeitpunkt in der Sequenz eine andere Ziffer als 9 auftaucht – wenn beispielsweise der Wert von x 4,999999999999997 wird… -, dann ist x, egal was danach passiert, kleiner als ½.
Aber bevor das passiert, wenn wir z.B. nur 0,4999 wissen, „wissen wir nicht, ob jemals eine andere Ziffer als 9 auftauchen wird oder nicht“, erklärt Carl Posy, Philosoph der Mathematik an der Hebräischen Universität von Jerusalem und führender Experte in der intuitionistischen Mathematik. “Wenn wir dieses x betrachten, können wir nicht sagen, ob x kleiner als ½ ist, noch können wir sagen, dass x gleich ½ ist.” Der Satz „x ist gleich ½“ ist nicht wahr und seine Negation auch nicht. Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte gilt nicht.
Darüber hinaus kann das Kontinuum nicht sauber in zwei Teile unterteilt werden, die aus allen Zahlen kleiner als ½ und allen Zahlen größer oder gleich ½ bestehen. “Wenn Sie versuchen, das Kontinuum in zwei Hälften zu schneiden, bleibt diese Zahl x am Messer hängen und befindet sich weder links noch rechts”, sagt Posy. „Das Kontinuum ist viskos; es ist ‘klebrig’. “
Hilbert verglich die Streichung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte aus der Mathematik mit dem „Verbot der Verwendung seiner Fäuste durch den Boxer“, da dem Prinzip viele mathematische Ableitungen und Schlussfolgerungen zugrunde liegen. Obwohl Brouwers intuitionistisches Gerüst für Kurt Gödel und Hermann Weyl zwingend war und beide faszinierte, dominiert die Standardmathematik mit ihren reellen Zahlen aufgrund ihrer Benutzerfreundlichkeit.
Die Entfaltung der Zeit
Gisin begegnete der intuitionistischen Mathematik zum ersten Mal bei einem Treffen im Mai 2019, an dem Posy teilnahm. Als die beiden sich unterhielten, sah Gisin schnell einen Zusammenhang zwischen den ablaufenden Dezimalstellen von Zahlen in diesem mathematischen Rahmen und dem physikalischen Zeitbegriff im Universum. Materialisierende Ziffern schienen natürlich der Abfolge von Momenten zu entsprechen, die die Gegenwart definieren, wenn die ungewisse Zukunft zur konkreten Realität wird. Das Fehlen des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte wäre dann mit unbestimmten Aussagen über die Zukunft vergleichbar.
In einer Arbeit, die im Dezember 2019 im Physical Review A veröffentlicht wurde, verwendeten Gisin und sein Mitarbeiter Flavio Del Santo die intuitionistische Mathematik, um eine alternative Version der klassischen Mechanik zu formulieren, die dieselben Vorhersagen wie die Standardgleichungen machen, Ereignisse jedoch als unbestimmt betrachten – ein Bild von einem Universum, in dem das Unerwartete passiert und sich die Zeit entfaltet.
Renato Renner: Wenn ich mir anschaue, wo wir Paradoxien haben und welche Probleme wir damit haben,
laufen sie am Ende immer auf diesen Zeitbegriff hinaus.
Es ist ein bisschen wie beim Wetter. Denken Sie daran, dass wir das Wetter nicht genau vorhersagen können, weil wir die Anfangsbedingungen jedes Atoms auf der Erde nicht mit unendlicher Präzision kennen. Aber in Gisins unbestimmter Version der Geschichte existierten diese genauen Zahlen nie. Intuitionistische Mathematik erfasst dies: Die Ziffern, die den Wetterzustand immer genauer spezifizieren und seine Entwicklung immer weiter in die Zukunft bestimmen, werden in Echtzeit ausgewählt, während sich diese Zukunft in einer Auswahlsequenz entfaltet. Renato Renner, Quantenphysiker an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich, sagt, Gisins Argumente “weisen in die Richtung, dass deterministische Vorhersagen im Allgemeinen grundsätzlich unmöglich sind.”
Mit anderen Worten, die Welt ist unbestimmt; Die Zukunft ist offen. Die Zeit, sagt Gisin, „entfaltet sich nicht wie ein Film im Kino. Es ist wirklich eine kreative Entfaltung. Die neuen Ziffern werden im Laufe der Zeit wirklich erstellt. “
Fay Dowker, eine Quantengravitationstheoretikerin am Imperial College London, sagt, sie finde Gisins Argumente “sehr sympathisch”, da “er auf der Seite von denen steht, die glauben, dass die klassische Physik nicht mit unserer Erfahrung übereinstimmt und daher etwas fehlt.” Dowker stimmt zu, dass mathematische Sprachen unser Verständnis von Zeit in der Physik prägen und dass die Standard-Hilbert-Mathematik, die reelle Zahlen als abgeschlossene Entitäten behandelt, zweifellos statisch ist. Es hat den Charakter, zeitlos zu sein, und das ist definitiv eine Einschränkung für uns als Physiker, wenn wir versuchen, etwas zu integrieren, das so dynamisch ist wie unsere Erfahrung des Zeitablaufs.”
Für Physiker wie Dowker, die sich für die Zusammenhänge zwischen Schwerkraft und Quantenmechanik interessieren, ist eine der wichtigsten Implikationen dieser neuen Sicht der Zeit, wie sie beginnt, das zu überbrücken, was lange als zwei miteinander unvereinbare Sichtweisen der Welt angesehen wurde. Renner sagt, “Eine der Implikationen für mich ist, dass die klassische Mechanik der Quantenmechanik in gewisser Weise näher kommt als wir dachten.”
Quantenunsicherheit und Zeit
Wenn Physiker das Geheimnis der Zeit lösen wollen, müssen sie sich nicht nur mit dem Raum-Zeit-Kontinuum von Einstein auseinandersetzen, sondern auch mit dem Wissen, dass das Universum im Grunde genommen ein Quantum ist, das von Zufall und Unsicherheit beherrscht wird. Die Quantentheorie zeichnet ein ganz anderes Zeitbild als Einsteins Theorie.
“Unsere beiden großen Theorien zur Physik, Quantentheorie und allgemeine Relativitätstheorie, geben unterschiedliche Aussagen ab”, sagt Renner. Er und mehrere andere Physiker sagen, diese Inkonsistenz liege dem ‘Kampf’ zugrunde, eine Quantentheorie der Schwerkraft zu finden – eine Beschreibung des Quantenursprungs der Raumzeit – und zu verstehen, warum der Urknall geschah. “Wenn ich mir anschaue, wo wir Paradoxien haben und welche Probleme wir damit haben, laufen sie am Ende immer auf diesen Zeitbegriff hinaus.”
Die Zeit in der Quantenmechanik ist starr, nicht biegsam und mit den Dimensionen des Raumes verflochten wie in der Relativitätstheorie. Darüber hinaus machen Messungen von Quantensystemen „die Zeit in der Quantenmechanik irreversibel, während die Theorie ansonsten vollständig reversibel ist“, sagt Renner. “Zeit spielt also eine Rolle in dieser Sache, die wir immer noch nicht wirklich verstehen.”
Viele Physiker interpretieren die Quantenphysik so, dass sie uns sagt, dass das Universum unbestimmt ist. “Um Himmels willen, Sie haben zwei Uran-Atome: Eines zerfällt nach 500 Jahren und das andere nach 1000 Jahren, und dennoch sind sie in jeder Hinsicht völlig identisch”, sagt Nima Arkani-Hamed, Physikerin am Institut für fortgeschrittene Studien in Princeton, New Jersey. “In jeder Hinsicht ist das Universum nicht deterministisch.”
Andere populäre Interpretationen der Quantenmechanik, einschließlich der Vielwelteninterpretation, schaffen es jedoch, den klassischen, deterministischen Zeitbegriff am Leben zu erhalten. Diese Theorien werfen Quantenereignisse als eine vorgegebene Realität aus. Die Viel-Welten-Theorie sagt zum Beispiel, dass jede Quantenmessung die Welt in mehrere Zweige aufteilt, die jedes mögliche Ergebnis realisieren, die alle im Voraus festgelegt wurden.
Ahmed Almheiri: Reelle Zahlen können nicht existieren,
da man sie nicht in schwarzen Löchern verstecken kann.
Gisins Ideen gehen in die andere Richtung. Anstatt zu versuchen, die Quantenmechanik zu einer deterministischen Theorie zu machen, hofft er, eine gemeinsame, unbestimmte Sprache sowohl für die klassische als auch für die Quantenphysik bereitzustellen. Der Ansatz weicht jedoch in gewichtiger Weise von der Standardquantenmechanik ab.
In der Quantenmechanik können Informationen gemischt oder verschlüsselt, aber niemals erstellt oder zerstört werden. Wenn jedoch die Ziffern von Zahlen, die den Zustand des Universums definieren, im Laufe der Zeit wachsen, wie Gisin vorschlägt, entstehen neue Informationen. Gisin sagt, er lehne “absolut” die Vorstellung ab, dass Informationen in der Natur erhalten bleiben, vor allem, weil “es eindeutig neue Informationen gibt, die während eines Messprozesses erzeugt werden”. Er fügt hinzu: “Ich sage, wir brauchen eine andere Sichtweise auf diese gesamten Ideen.”
Diese neue Art, über Informationen nachzudenken, könnte eine Lösung für das Informationsparadoxon des Schwarzen Lochs vorschlagen, das fragt, was mit Informationen geschieht, die von Schwarzen Löchern verschluckt werden. Die Allgemeine Relativitätstheorie impliziert, dass Informationen zerstört werden; die Quantentheorie besagt, dass sie erhalten bleibt. Daher das Paradoxon.
Wenn eine andere Formulierung in der Quantenmechanik durch intuitionistische Mathematik die Erzeugung von Informationen durch Quantenmessungen ermöglicht, können möglicherweise auch Informationen zerstört werden.
Jonathan Oppenheim, theoretischer Physiker am University College London, glaubt, dass Informationen tatsächlich in Schwarzen Löchern verloren gehen können. Er weiß nicht, ob Brouwers Intuitionismus der Schlüssel sein wird, um dies zu zeigen, wie Gisin behauptet, aber er sagt, es gibt Grund zu der Annahme, dass die Schaffung und Zerstörung von Informationen eng mit der Zeit verbunden sein könnte. „Informationen werden zerstört, wenn Sie rechtzeitig vorwärts gehen. Es wird nicht zerstört, wenn Sie sich durch den Weltraum bewegen “, sagte Oppenheim. Die Dimensionen, aus denen Einsteins Blockuniversum besteht, unterscheiden sich stark voneinander.
Intuitionistische Mathematik unterstützt nicht nur die Idee der kreativen (und möglicherweise destruktiven) Zeit, sondern bietet auch eine neuartige Interpretation unserer bewussten Zeiterfahrung. Denken Sie daran, dass in diesem Rahmen das Kontinuum ‘klebrig’ ist und nicht in zwei Teile geteilt werden kann.
Gisin verbindet diese ‘Klebrigkeit’ mit unserem Gefühl, dass die Gegenwart ‘dick’ ist – ein wesentlicher Moment und kein Punkt mit einer Breite von Null, der die Vergangenheit sauber von der Zukunft trennt. In der Standardphysik, basierend auf der Standardmathematik, ist die Zeit ein kontinuierlicher Parameter, der einen beliebigen Wert auf der Zahlenlinie annehmen kann. “Allerdings”, sagt Gisin, “wenn das Kontinuum durch intuitionistische Mathematik dargestellt wird, kann die Zeit nicht scharf in zwei Teile geteilt werden. “Sie ist dick”, sagt er, “im gleichen Sinne wie Honig dick ist.”
Bisher ist es nur eine Analogie. Oppenheim jedoch sagt, er habe „ein gutes Gefühl bei dieser Vorstellung, dass die Gegenwart ‘dick’ ist. Ich bin mir nicht sicher, warum wir dieses Gefühl haben.”
Die Zukunft der Zeit
Gisins Ideen haben eine Reihe von Antworten von anderen Theoretikern ausgelöst, alle mit ihren eigenen Gedankenexperimenten und Intuitionen über die weitere Zeit.
Mehrere Experten waren sich einig, dass reelle Zahlen physikalisch nicht real zu sein scheinen und dass Physiker einen neuen Formalismus brauchen, der sich nicht auf sie stützt. Ahmed Almheiri, ein theoretischer Physiker am Institute for Advanced Study, der Schwarze Löcher und die Quantengravitation untersucht, sagt, die Quantenmechanik “schließt die Existenz des Kontinuums aus”.
Die Quantenmathematik bündelt Energie und andere Größen in Paketen, die eher ganzen Zahlen als einem Kontinuum ähneln. Und unendliche Zahlen werden in schwarzen Löchern abgeschnitten. “Ein Schwarzes Loch scheint eine unendlich große Anzahl interner Zustände zu haben, aber [diese werden] abgeschnitten”, sagt er “aufgrund von Quantengravitationseffekten”. “Reelle Zahlen können nicht existieren, weil man sie nicht in schwarzen Löchern verstecken kann. Andernfalls könnten Schwarze Löcher unendlich viele Informationen verbergen.”
Sandu Popescu, ein Physiker an der Universität von Bristol, der häufig mit Gisin korrespondiert, stimmte dessen unbestimmter Weltanschauung zu, sagt jedoch, er sei nicht davon überzeugt, dass intuitionistische Mathematik notwendig sei. Popescu widerspricht der Idee, dass Ziffern von reellen Zahlen als Information gelten.
Arkani-Hamed fand Gisins Gebrauch der intuitionistischen Mathematik interessant und potenziell relevant für Fälle wie Schwarze Löcher und den Urknall, in denen Gravitations- und Quantenmechanik in offensichtliche Konflikte geraten. “Diese Fragen – von Zahlen als endlich oder grundlegend existierenden Dingen oder ob es unendlich viele Ziffern gibt oder ob die Ziffern im weiteren Verlauf gemacht werden”, sagte er, “könnten damit zusammenhängen, wie wir letztendlich über Kosmologie in Situationen nachdenken sollten, wo wir nicht wissen wie man Quantenmechanik anwendet.“ Auch er sieht die Notwendigkeit einer neuen mathematischen Sprache, die Physiker von unendlicher Präzision „befreien“ und es ihnen ermöglichen könnte, „über Dinge zu sprechen, die die ganze Zeit ein bisschen verschwommen sind“.
Gisins Ideen finden in vielen Ecken Resonanz, müssen aber noch konkretisiert werden. In Zukunft hofft er, einen Weg zu finden, um Relativitätstheorie und Quantenmechanik in Bezug auf endliche, unscharfe intuitionistische Mathematik neu zu formulieren, wie er es mit der klassischen Mechanik getan hat, um möglicherweise die beiden Theorien näher zueinander zu bringen. Er hat einige Ideen, wie man sich der Quantenseite nähern könnte.
Eine Möglichkeit, wie die Unendlichkeit in der Quantenmechanik ihren Kopf erhebt, ist das ‘tail problem’: Versuchen Sie, ein Quantensystem wie ein Elektron auf dem Mond zu lokalisieren, und „wenn Sie dies mit Standardmathematik tun, müssen Sie zugeben, dass ein Elektron auf dem Mond eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit hat, auch auf der Erde entdeckt zu werden “, sagt Gisin. Der “Schwanz” der mathematischen Funktion, die die Position des Partikels darstellt, wird “exponentiell klein, ist aber ungleich Null”.
Aber Gisin fragt sich: „Welche Realität sollten wir einer super kleinen Zahl zuschreiben? Die meisten Experimentatoren würden sagen: “Setzen Sie es auf Null und hören Sie auf zu fragen.” Aber die Theoretiker würden vielleicht sagen: “Na ja, nach der klassischen Mathematik ist da etwas.”
“Jetzt kommt es darauf an, welche Mathematik”, fährt er fort. „Klassische Mathematik, da ist etwas. In der intuitionistischen Mathematik, nein. Da ist nichts.” Das Elektron ist auf dem Mond und seine Chance, auf der Erde aufzutauchen, ist wirklich Null.
Seit Gisin seine Arbeit zum ersten Mal veröffentlichte, ist die Zukunft nur noch ungewisser geworden. Jetzt ist jeder Tag für ihn eine Art Sonntag, da die Corona-Pandemie die Welt erfasst hat. Er ist nicht im Labor und kann seine Enkelinnen nur auf einem Bildschirm sehen. Er plant, zu Hause mit seiner Tasse Tee und dem Blick auf den Garten, weiter nachzudenken.
Natalie Wolchover, 07. April 2020